Avaliacao de opcoes americanas com barreiras monitoradas de forma discreta.
| Autor | de Souza, Giuliano Carrozza Uzeda Iorio |
| Cargo | Report |
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Introducao
As opcoes com barreira sao negociadas no mercado de balcao desde os anos 60 e tornaram-se populares especialmente em funcao do seu custo reduzido em relacao a opcao vanilla equivalente. A primeira solucao analitica para o apreca-mento desses derivativos foi proposta por Merton (1973) e considerava a avaliacao de opcoes de compra com barreira de monitoramento continuo do tipo down-and-out.
Nao obstante, constatou-se que a formula encontrada tambem seria valida para avaliacao de opcoes de compra americanas, ja que o exercicio antecipado nao seria justificavel.
Ressalte-se que, mesmo considerando as opcoes europeias, pode haver diferencas substancias nos precos entre opcoes com barreira de monitoramento continuo e aquelas com monitoramento discreto, ainda que se considere o monitoramento discreto com base diaria, conforme demonstrado por Chance (1994). Outros autores, como Flesaker (1992), Kat e Verdonk (1995), e Kat e Heynen (1996), chegaram a mesma conclusao, desenvolvendo formulas fechadas para avaliacao de opcoes europeias com barreira discreta, em que a barreira muda ao longo da vida util da opcao (stepped barrier options).
Heynene Kat (1994) e Armstrong (2001) derivaram uma solucao fechada para um caso intermediario entre as opcoes com monitoramento continuo e aquelas com monitoramento discreto (as chamadas opcoes europeias com barreira valida somente em uma janela de tempo especifica, ou window barrier options ou partial barrier options). Ja Broadie et alii (1999) propuseram uma correcao de um modelo para aprecamento de opcoes europeias com barreira continua para estimar o preco de opcoes com barreira discreta em que, dependendo da frequencia do monitoramento, a barreira ei deslocada de forma a ajustar o modelo para o caso discreto. Entretanto, os resultados obtidos indicam que a aproximacao nao e adequada quando o preco de barreira e definido em valor proximo ao do ativo subjacente.
Assim, conclui-se que os precos obtidos por solucoes fechadas para opcoes com monitoramento continuo nao se estendem para as opcoes com monitoramento discreto. Adicionalmente, constata-se que, quando as barreiras recebem monitoramento discreto, torna-se mais dificil a obtencao de uma solucao fechada ou mesmo a solucao do problema por meio de metodos numericos.
Como usual, mesmo no caso das opcoes com barreira de monitoramento continuo, as opcoes americanas eliminam quase sempre a possibilidade de solucao por meio de formulas analiticas fechadas. Por conseguinte, em paralelo ao desenvolvimento de solucoes numericas, aplicadas somente ao caso europeu, diversos metodos foram desenvolvidos para avaliacao desses derivativos, seja no caso de monitoramento continuo ou discreto. Nessa linha, desde o trabalho classico de Cox et alii (1979), entre as adaptacoes de modelos lattice destinadas a avaliacao de varios tipos de opcao, inclui-se aquelas direcionadas a avaliacao de opcoes com barreira.
Boyle e Lau (1994) propuseram um metodo lattice que forca os precos do ativo subjacente nos nos da arvore a coincidirem com os precos de barreira. Entretanto, a metodologia empregada pode tornar a arvore impraticavel em funcao do numero elevado de discretizacoes. Seguindo a linha de Boyle e Lau (1994), varios outros autores desenvolveram adaptacoes do metodo lattice para avaliacao de opcoes com barreira--Derman et alii (1995), Ritchken (1995) e Cheuk e Vorst (1996)--, porem, o problema de convergencia persistia, principalmente nos casos de avaliacao de opcoes com monitoramento discreto da barreira.
Na esteira dos modelos lattice aplicados a avaliacao de opcoes com barreira, Figlewski e Gao (1999) introduziram o Adaptive Mesh Model (AMM), que se destaca pela flexibilidade e melhora na eficiencia das arvores trinomiais aplicadas a avaliacao de opcoes europeias ou americanas com barreira de monitoramento continuo. Ja no caso das opcoes europeias ou americanas com barreira de monitoramento discreto, Ahn et alii (1999) foram os primeiros a propor uma solucao baseada no Adaptive Mesh Model (AMM), apesar da dificuldade ainda maior para avaliacao destes derivativos por meio dos metodos lattice.
O presente artigo considera a avaliacao de opcoes americanas com barreiras monitoradas de forma discreta--o caso mais complexo--a partir de uma adaptacao do modelo GVW (Grant et alii, 1997) de forma a considerar a presenca de barreiras discretas. Cabe destacar que o modelo GVW foi desenvolvido originalmente para avaliacao de opcoes americanas vanilla e opcoes Asiaticas. O trabalho comprova a flexibilidade dos modelos de simulacao de Monte Carlo para avaliacao de derivativos com maior complexidade. Alem do aprecamento da opcao, o modelo desenvolvido permite a identificacao da curva de gatilho levando em conta a presenca das barreiras, parametro que pode ser interessante para os negociadores desse derivativo. Uma vantagem adicional do modelo, em relacao ao Adaptive Mesh Model de Ahn et alii (1999), e a possibilidade de sua aplicacao sem dificuldades as opcoes com monitoramento continuo da barreira.
O artigo esta dividido em cinco secoes. Aptos a presente introdujo, o item 2 apresenta uma describo do Adaptive Mesh Model (AMM) de Ahn et alii (1999), utilizado como parametro de comparacao. No item 3 e apresentada a adaptacao do metodo GVW (Grant et alii, 1997). No item 4 sao apresentadas as aplicacoes e comparacoes realizadas dos dois modelos, onde foram consideradas opcoes americanas com barreiras discretas do tipo knock-out-and-down, comparando-se os resultados encontrados por cada metodologia empregada. Finalmente, o item 5 e dedicado aos comentarios e conclusoes finais.
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O Adaptive Mesh Model (AMM) para Avaliacao de Opcoes Americanas com Barreira de Monitoramento Discreto
Desde o trabalho classico de Cox et alii (1979), diversas adaptacoes de modelos lattice tem sido desenvolvidas, incluindo-se aquelas direcionadas a avaliacao de opcoes com barreira. A vantagem desses modelos normalmente e a relativa simplicidade e a reconhecida eficiencia quando aplicados aos mais variados casos.
Figlewski e Gao (1999) introduziram o Adaptive Mesh Model (AMM), um modelo flexivel que aumenta consideravelmente a eficiencia dos modelos lattice trinomiais aplicados a avaliacao de opcoes europeias ou americanas com barreira de monitoramento continuo. De acordo com essa metodologia, a arvore basica (coarse mesh) ei usada em todos os instantes de tempo discretizados, mas um maior numero de discretizacoes (fine mesh) e construido nas areas em que os calculos sao mais criticos, ou seja, onde o preco do ativo subjacente e proximo ao preco de barreira.
Ahn et alii (1999) propuseram uma solucao baseada no Adaptive Mesh Model para o caso das opcoes europeias ou americanas com barreira de monitoramento discreto. Nesse caso, as areas mais criticas, em que um maior numero de discretizacoes e construido (fine mesh), sao aquelas em que a barreira discreta e valida e o preco do ativo subjacente e proximo ao preco de barreira. Como o caso de monitoramento discreto da barreira e mais complexo, a descreo a seguir trata justamente do modelo proposto por Ahn et alii (1999).
No modelo de Figlewski e Gao (1999) e no modelo de Ahn et alii (1999) e importante que a malha fina seja isomorfica, o que possibilita que malhas ainda mais finas sejam adicionadas a partir do mesmo procedimento aplicado para construcao da primeira arvore fina. Assim, torna-se possivel melhorar a resolucao em determinada area da arvore sem a necessidade de aumentar a discretizacao em todos os pontos da mesma.
2.1 Construcao da arvore trinomial basica (coarse mesh)
Para construcao da arvore trinomial basica, assume-se que o preco do ativo Subjacente (S) segue o seguinte processo de difusao:
d ln S = (r - [[sigma].sup.2]/2) dt + [sigma] dZ (1)
onde:
r e a taxa de juros livre de risco;
[sigma] e a volatilidade do ativo subjacente e
dZ e um processo de Wiener.
Definindo X = lnS e [alpha] = (r - [[sigma].sup.2/2), temos que:
dX = [alpha]dt + [sigma]dZ (2)
Esse processo e discretizado e aproximado pelo seguinte processo trinomial: (1)
[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (3)
onde k representa a discretizacao do tempo e h a discretizacao do preco do ativo subjacente. As probabilidades de que haja um movimento de alta, intermediario e de baixa, sao [p.sub.u], [p.sub.m] e [p.sub.d], respectivamente.
Assim, como em qualquer metodo lattice, o valor da opcao para um determinado instante de tempo (t), e o valor do ativo subjacente (X), V(X, t), e computado a partir dos valores obtidos nos nos do periodo seguinte.
V(X,t) = exp(-rk)[[p.sub.u] V(X + [alpha]k + [alpha]h, t + k) + [p.sub.m]V(X + [alpha]k, t + k)+ [p.sub.d]V(X + [alpha]k - [alpha]h, t + k)] (4)
O modelo funciona para qualquer valor positivo de h e k. Para que o processo discretizado por meio do modelo trinomial possua os mesmos primeiros cinco momentos do processo continuo lognormal, representado na equacao 12, e que se deseja aproximar, os valores encontrados para h, [p.sub.u], [p.sub.d] e [p.sub.m] devem ser, respectivamente: [sigma]([square root of 3k), 1/6, 1/6 e 2/3. (2) Alem das datas em que a barreira e valida, podese melhorar significativamente o modelo ao se considerar que mesmo uma opcao com a complexidade das opcoes com barreira podem ser avaliadas como se fossem opcoes europeias no instante de tempo imediatamente anterior ao vencimento. De acordo com Figlewski e Gao (1999), usando-se uma formula fechada para opcoes europeias elimina-se o erro de naolinearidade produzido pela discretizacao da arvore ao redor do preco de exercicio da opcao na data de vencimento. Uma alternativa para eliminar o erro de nao-linearidade e adotar na data de vencimento da opcao o mesmo procedimento de discretizacoes adicionais utilizado nos pontos em que a barreira e valida. Este foi...
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