Index Tracking com Controle do Número de Ativos
| Autor | Leonardo Riegel Sant'Anna - Tiago Pascoal Filomena - Denis Borenstein |
| Cargo | Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Rio Grande do Sul, RS, Brasil - Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Rio Grande do Sul, RS, Brasil - Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Rio Grande do Sul, RS, Brasil |
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Index Tracking com Controle do Número de Ativos
(Index Tracking with Control on the Number of Assets)
Leonardo Riegel Sant’Anna*
Tiago Pascoal Filomena**
Denis Borenstein***
Resumo
Index trackingé uma estratégia de investimento passiva, com objetivo de formar portfólios para reprodução do desempenho de um índice do mercado. Esse artigo apresenta uma proposta de modelagem de otimização de index tracking com controle do número de ativos na carteira, correspondenteà restrição de custos de transação. O modeloé aplicado ao Ibovespa entre Jan/2009 e Jul/2012. Foram formadas carteiras sem limite de ativos e com limite de 40, 30 e 20 ativos, com rebalanceamento em 20, 40 e 60 períodos. Os resultados evidenciam a composição de carteiras estatisticamente significativas para acompanhar a rentabilidade do índice, especialmente para rebalanceamento de 60 períodos, com custos de transação mais baixos devido ao maior intervalo de rebalanceamento. Verificou-se também que alteraçôes de parâmetros do solver Cplex não influenciaram os resultados, especialmente para tempo de solução. Assim, concluímos sobre a necessidade de aplicar métodos heurísticos para formação de carteiras com menos ativos.
Palavras-chave: index tracking; otimização de carteira; programação quadrática inteira.
Códigos JEL: C61; G11.
Submetido em 25 de agosto de 2013. Reformulado em 10 de março de 2014. Aceito em 28 de abril de 2014. Publicado on-line em 2 de junho de 2014. Editor responsável: Antonio Zoratto Sanvicente. Os autores reconhecem e agradecem o suporte financeiro por parte da FAPERGS (Fundacão de Amparoà Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul), com o auxílio número 0859-12-7.
*Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Rio Grande do Sul, RS, Brasil. E-mail: lrsantanna@outlook.com
**Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Rio Grande do Sul, RS, Brasil. E-mail: tpfilomena@ea.ufrgs.br
***Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Rio Grande do Sul, RS, Brasil. E-mail: dborenstein@ea.ufrgs.br
Rev. Bras. Finanças (Online), Rio de Janeiro, Vol. 12, No. 1, March 2014, pp. 89–119 ISSN 1679-0731, ISSN online 1984-5146
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Sant’Anna, L., Filomena, T., Borenstein, D.
Abstract
Index tracking is a passive investment strategy, which aims at generating portfolios to reproduce a specific market index’s performance. This article proposes a model for a index tracking problem with control on the number of assets in the portfolio, which corresponds to a restriction in transaction costs. The model is applied to Ibovespa (sample: 67 stocks) from January/2009 to July/2012. Portfolios were formed without limiting the amount of stocks and limiting this amount to 40, 30 and 20 stocks, with rebalancing periods of 20, 40 and 60 trading days. The results were satisfactory especially for the 60 days rebalancing period, in which transaction costs become lower due to the longer rebalancing period. We also verified that changes in Cplex parameters didn’t influence the results especially in relation to the computational times. Therefore, we also conclude about the need of using heuristic approaches to form portfolios with smaller amounts of assets.
Keywords: index tracking; portfolio optimization; quadratic integer programming.
1. Introdução
O início da Teoria Moderna de Portfólio ocorreu com Markowitz (1952), que propôs um modelo de média-variância para seleção de carteira. Nesse modelo, a variância dos retornos dos ativosé usada como medida de risco, eé feita a otimização do trade-off entre risco e retorno esperado. Com base na literatura de investimentos, verificamos que há basicamente dois tipos de fundos de investimentos: fundos de administração ativa e de administração passiva (Roll, 1992, Beasley et al., 2003, Maringer & Oyewumi, 2007).
Fundos de administração ativa possuem, em geral, gestão mais flexível e maior quantidade de transaçôes de compra e venda. Assim, tendem a apresentar custos maiores de gestão e de transaçôes (pois têm maior volume de operaçôes). Estratégias ativas assumem que os mercados são ineficientes e tentam explorar desequilíbrios resultantes desse fator.
Por outro lado, fundos de administração passiva têm gestão menos flexível e comumente seguem critérios previamente definidos, apresentando menores custos de gestão e de transaçôes por ter menor volume de transaçôes. Essa estratégia baseia-se na hipótese de que há eficiência nos mercados e que, no longo prazo, os rendimentos dos mercados não tendem a ser superados por fundos ativos, tendo como fundamento a teoria de mercados eficientes (Fama, 1970); por consequência, rendimentos de índices de referência dos mercados também não tendem a ser superados. Frino & Gallagher (2001), por exemplo, demonstram que investimentos em estratégias passivas apresentam, em média, desempenho superior do que investimen-
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tos em estratégias ativas no longo prazo. Fama & French (2010) são outro exemplo de estudo que demonstra que fundos ativos têm tendência a apresentar rendimento abaixo do rendimento do mercado.
Fundos de index tracking (index funds, ou também fundos de índice) são uma forma de investimento passivo que visa replicar o rendimento de um índice de referência (por exemplo: Ibovespa). Através de Frino & Gallagher (2001) e Fama & French (2010), podemos entender a relevância de fundos passivos e da estratégia de index tracking, como forma de acompanhar o rendimento do mercado com custos reduzidos e desempenho que tende a ser superior a fundos ativos. O uso de index tracking pode ser feito, por exemplo, para formação de fundos de índices ou, também, para formação de ETFs (do inglês, Exchange-Traded Funds) – ativos que representam fundos de índice e que têm se popularizado no mercado brasileiro nosúltimos anos (Borges et al., 2012).
A primeira opção para se montar um index fund seria realizar uma réplica total do índice (compor um portfólio com os ativos que formam o índice e seus respectivos pesos). Porém, essa estratégia apresenta desvantagens como a atribuição de peso bastante baixo a alguns ativos e maiores custos de transação na medida em que a carteiraé atualizada ao longo do tempo (Barro & Canestrelli, 2009, Canakgoz & Beasley, 2009).
Assim, os modelos de index tracking apresentam, entre outras restriçôes, a limitação da quantidade de ativos para compor a carteira, de forma a diminuir a quantidade de transaçôes do portfólio e reduzir custos de transação e gestão. Neste estudo, buscamos apresentar um modelo de index tracking com otimização de programação quadrática inteira, similar ao proposto por Gaivoronski et al. (2005), de forma a replicar um índice com controle do número de ativos da carteira. O uso de Gaivoronski et al. (2005) como referência justifica-se por esse artigo ser um trabalho amplamente referenciado na literatura, com a apresentação de modelos com diferentes abordagens relacionadas ao tema, por exemplo, discutindo custos de transação e de rebalanceamento.
Conforme destacam Barro & Canestrelli (2009), com limitação da quantidade de ativos, dificilmente teremos a reprodução exata do índice; portanto, o modelo de otimização visa minimizar o erro (diferença) de tracking da carteira em relação ao índice (minimização do tracking error), ou seja, minimizar a diferença entre rendimento da carteira e rendimento do índice. Assim, o focoé minimizar o erro de tracking com restrição da quantidade de ativos do portfólio, o que representa uma limitação de custos
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de transação e gestão. Nesse estudo, adotamos o erro de tracking de cada carteira otimizada como sendo a diferença entre o rendimento acumulado da carteira e o rendimento acumulado do índice no intervalo de tempo fora da amostra.
Trabalhos acadêmicos recentes sobre o assunto buscam, em sua maioria, solucionar o problema de index tracking com uso de heurísticas para formação de carteiras com quantidade bastante reduzida de ativos; nosso objetivoé verificar que mesmo carteiras com quantidade um pouco maior de ativos podem realizar satisfatoriamente o tracking do índice mantendo custos baixos (verificados através dos valores de turnover). Pretende-se demonstrar que, mesmo com uma técnica simples de solução, apoiada a um leve relaxamento no controle do número de ativos, pode-se obter uma abordagem eficiente de index tracking com controle de ativos sem o uso de técnicas numéricas mais complexas ou de heurísticas de difícil implementação e parametrização.
Para aplicação do modelo, adotamos o índice Ibovespa (índice de referência do mercado brasileiro), para o período de Janeiro/2009 a Julho/2012, com um total de 890 observaçôes diárias. Foram realizados testes para formar quatro tipos de carteiras: sem limite de quantidade de ativos e com limites de 40, 30 e 20 ativos. Os períodos de rebalanceamento adotados são 20, 40 e 60 observaçôes diárias (ou seja, rebalanceamento mensal, bimestral e trimestral).
Pelos testes realizados, constatou-se a eficiência dessa estratégia especialmente em termos de custos. Contudo, na medida em que reduzimos a quantidade de ativos da carteira, os tempos de solução crescem de forma exponencial, de modo que não conseguimos formar carteiras com menos de 20 ativos. Porém, para carteiras de 20 ou mais ativos (especialmente para rebalanceamento trimestral), temos soluçôes satisfatórias em termos de custo (com baixos valores de turnover médios mensais), tempos de solução e estatísticas que apontam forte correlação das carteiras formadas com o índice.
Para realização dos testes, utilizamos o solver de...
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