Tecnicas quantitativas de otimizacao de carteiras aplicadas ao mercado de acoes brasileiro.
| Autor | Santos, Andre Alves Portela |
| Cargo | Art |
Quantitative Portfolio Optimization Techniques Applied to the Brazilian Stock Market
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Introducao
Os modelos quantitativos de otimizacao de carteiras tem ganhado notoriedade na area de financas em virtude de sua aplicabilidade pratica nos processos de alocacao e gestao de carteiras de investimento. A abordagem da otimizacao de carteiras, proposta inicialmente por Markowitz (1952) em seu artigo seminal "Portfolio Selection", deu origem ao que hoje e popularmente conhecido como Teoria Moderna do Portfolio e analise media-variância de carteiras de investimento, transformando o processo de alocacao de ativos em um processo de otimizacao. A ideia introduzida em seu artigo e a que investidores deveriam considerar o trade-off fundamental entre retorno esperado e risco ao determinar qual a melhor alocacao de suas carteiras, escolhendo a carteira com a menor variância entre um infinito numero de carteiras que proporcionassem um determinado retorno ou, de forma equivalente, para um determinado nivel de aversao ao risco, deveriam escolher a carteira que maximizasse o retorno esperado.
Essa abordagem revolucionou a teoria de financas ao mudar o foco da analise de investimentos da selecao de ativos individuais em direcao a diversificacao, colocando pela primeira vez em bases solidas e matematicas a relacao entre risco e retorno e mostrando que o risco da carteira nao depende apenas do risco associado a cada ativo, mas da covariância entre ativos individuais. No entanto, apesar de sua grande influencia, quase 60 anos apos a publicacao do artigo de Markowitz, ainda existe certa relutância entre gestores de recursos em adotar a estrategia quantitativa de otimizacao baseada no trade-off risco-retorno. Uma das razões e que a implementacao destas estrategias na pratica esbarra na dificuldade de se obter estimacões acuradas dos retornos esperados dos ativos e da matriz de covariâncias desses retornos. Tais estimativas amostrais sao usualmente obtidas via maxima verossimilhanca (MV), supondo retornos normalmente distribuidos. No entanto, conforme argumentam DeMiguel & Nogales (2009), embora as estimativas de MV sejam muito eficientes para a distribuicao normal presumida, seu desempenho e altamente sensivel a desvios da distribuicao empirica ou amostral da normalidade. Levando-se em consideracao as amplas evidencias na literatura financeira de que a suposicao da normalidade dos retornos nem sempre e valida, e de se esperar que as estimativas amostrais estejam sujeitas a erros de estimacao, os quais podem prejudicar a composto das carteiras obtidas com base nesses estimadores. Por exemplo, Michaud (1989), Best & Grauer (1991) e Mendes & Leal (2005), entre outros, observam que pequenas mudancas nos dados de entrada para o calculo das medias e da matriz de covariância dos retornos podem causar mudancas significativas nos pesos dos ativos das carteiras otimas. Alem disso, existem evidencias empiricas que mostram a inferioridade destas carteiras instaveis em termos de desempenho fora da amostra (DeMiguel & Nogales, 2009).
Em virtude disso, a introducao de novos metodos para a obtencao de estimadores mais robustos para a solucao de problemas de otimizacao tem sido um dos principais topicos abordados em financas nas ultimas quatro decadas. Iniimeras solucões tem sido propostas na literatura para atenuar o erro de estimacao nas medias e/ou nas covariâncias. Jagannathan & Ma (2003) propuseram a introducao de uma restricao de venda a descoberto em carteiras de minima-variância como forma de induzir a estabilidade dos pesos. Eles argumentam que, como os erros de estimacao nas medias sao muito maiores do que os erros de estimacao nas covariâncias, a estabilidade na composto da carteira de minima-variância costuma ser maior em relacao a carteira de media-variância. Jorion (1986) propos um estimador mais robusto ao erro de estimacao para as medias, enquanto Ledoit & Wolf (2003, 2004a,b) propuseram um estimador robusto de encolhimento para a estimacao da matriz de covariância.
Ledoit & Wolf (2004a) colocaram-se contrarios ao uso da matriz de covariância amostral para fins de otimizacao de carteiras. Os autores ressaltam que a matriz de covariância amostral classica, estimada com os retornos historicos, apresenta baixo esforco computacional e ausencia de vies, mas, em contrapartida, apresenta erro de estimacao elevado, podendo comprometer o desempenho da otimizacao media-variância. Por outro lado, o uso exclusivo de estimadores mais sofisticados reduz o erro de estimacao, mas introduz vieses. Assim, os autores sugerem a aplicacao de tecnicas Bayesianas de encolhimento para a estimacao da matriz de covariância, combinando-se a matriz de covariância amostral com um estimador estruturado, a fim de encontrar os pesos otimos da carteira com propriedades melhoradas (ver Ledoit & Wolf, 2003, 2004a,b).
Neste artigo buscamos examinar e comparar a aplicabilidade e o desempenho fora da amostra de diferentes tecnicas de otimizacao de carteiras com relacao ao desempenho da carteira ingenua igualmente ponderada 1/N e do indice Ibovespa. Para isso, foram utilizados os retornos de 45 ativos que fizeram parte do indice Ibovespa tanto na data inicial do periodo amostral, 02/03/2009, quanto na data final, 24/11/2011, totalizando T = 677 observacões. Empiricamente, foram empregadas matrizes de covariância estimadas com base em cinco abordagens alternativas, amplamente empregadas por participantes do mercado e academicos: matriz amostral, matriz Risk Metrics e tres diferentes estimadores propostos por Ledoit & Wolf (2003), Ledoit & Wolf (2004a) e Ledoit & Wolf (2004b), respectivamente. O desempenho fora da amostra das diferentes tecnicas de alocacao de carteiras se baseou nas seguintes medidas: retorno medio, desvio-padrâo, Indice de Sharpe (IS), turnover e custo breakeven das carteiras otimizadas e retorno acumulado em excesso ao CDI, considerando-se tambem diferentes frequencias de rebalanceamento. Os resultados obtidos indicam que as estrategias quantitativas de otimizacao representadas pelo modelo tradicional de media-variância de Markowitz e seu caso particular, o modelo de minima-variância, sao capazes de proporcionar resultados positivos tanto em termos absolutos como em termos de retorno ajustado ao risco, sobretudo quando comparados ao desempenho observado da estrategia ingenua de investimentos 1/N e do benchmark de mercado, dado pelo indice Ibovespa.
Vale observar que estudos anteriores avaliaram o desempenho de carteiras otimizadas utilizando dados do mercado acionairio brasileiro. O trabalho de Thome et al. (2011), por exemplo, propõe a construyo de indices de variância minima para o Brasil. Os autores concluem que o indice construido com base em carteiras de variância minima irrestritas nao consegue um desempenho superior ao indice de referencia. Entretanto, os resultados das carteiras otimizadas melhoram a medida que uma restricao de alocacao maxima em cada ativo e colocada. Nesse sentido, cabe ressaltar que este trabalho difere em varios aspectos em relacao ao trabalho de Thome et al. (2011). Primeiro, a especificacao adotada neste artigo e mais flexivel, pois nao impoe uma restricao de alocacao maxima em cada ativo. Segundo, a amostra e o periodo analisado sao diferentes. Terceiro, consideramos um conjunto maios amplo de estimadores para a matriz de variâncias e covariâncias. Quarto, o algoritmo computacional utilizado para resolver o problema de otimizacao e distinto daquele usado pelos autores. Esses fatores podem explicar a diferenca entre os resultados reportados neste trabalho em relacao ao trabalho de Thome et al. (2011).
O restante do artigo esta organizado da seguinte forma. Na secao 2, expomos as diferentes tecnicas de otimizacao de carteiras e de estimacao da matriz de covariância usadas neste estudo. Na secao 3, descrevemos os conjuntos de dados, bem como a metodologia empregada na avaliacao do desempenho fora da amostra. Na secao 4 apresentamos os resultados obtidos e, finalmente, na secao 5 expomos as consideracões finais.
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Otimizacao de Carteiras de Investimento
2.1 Metodos de otimizacao de carteiras
Esta secao buscara descrever brevemente dois modelos alternativos empregados nos procedimentos de otimizacao de carteiras de investimento, bem como a carteira ingenua, que sera usada como benchmark. Inicialmente, apresentaremos a abordagem tradicional de Markowitz com base no modelo de otimizacao por media-variância, buscando-se uma alocacao otima ao longo da fronteira eficiente que minimize o risco da carteira para um dado nivel de retorno esperado. A seguir, sera apresentado o modelo de otimizacao por minima-variância, que pode ser considerado um caso particular do modelo de media-variância, no qual a carteira otima resultante ei a de menor volatilidade. Finalmente, as duas estrateigias apresentadas acima serâo confrontadas com uma estrategia ingenua, na qual a carteira e formada atribuindo-se pesos iguais para todos os ativos.
Carteira de media-variância
A otimizacao media-variância de Markowitz (MEV) e a abordagem padrâo para a construcao de carteiras otimas. A suposto basica por tras desse modelo e a de que as preferencias de um investidor podem ser representadas por uma funcao (funcao de utilidade) dos retornos esperados e da variância da carteira. Santos (2010) ressalta que a escolha entre o premio de risco desejado (retorno esperado acima do CDI) depende da tolerância do investidor ao nivel de risco. Individuos menos avessos ao risco podem estar dispostos a aceitar uma maior volatilidade em suas carteiras a fim de alcancar um maior premio de risco, enquanto investidores avessos ao risco preferirao carteiras menos volateis, penalizando, portanto, o retorno esperado. Para incorporar o trade-off otimo entre retorno esperado e risco, considere o problema enfrentado por um investidor que deseja alocar sua riqueza entre N ativos de risco, procurando saber que peso [w.sub.i] deve dar a cada ativo de maneira a atingir o...
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