Risk measures theory: a comprehensive survey/Teoria de medidas de risco: uma revisao abrangente.
| Autor | Righi, Marcelo Brutti |
| Cargo | Parte 2 - Texto en portugu |
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Medidas de risco espectrais e de distorcao
4.1 Medidas de risco espectrais
Outra categoria de medidas de risco sao as medidas espectrais. Ao contrario de outras classes de medidas de risco, as medidas espectrais levam em conta a funcao de aversao ao risco de cada individuo. Mais especificamente, a ES pondera todos os cenarios igualmente, ao passo que medidas espectrais tendem a dar mais peso para piores cenarios. O conceito de medidas espectrais de risco e proposto por Acerbi (2002). A ideia fundamental e que toda medida de risco coerente pode ser representada por uma soma ponderada convexa de medidas de risco coerentes. Nesse contexto, considere uma medida do tipo [rho](X) = -[[integral].sup.1.sub.0] [F.sup.-1.sub.X]([alpha])d[alpha], onde [F.sup.-1.sub.X] e a funcao inversa da distribuyo de probabilidade de X, representando o quantil dos dados e [phi] e uma funcao de ponderacao definida do agente com dominio sobre toda amplitude de probabilidades cumulativas 0 [less than or equal to] [alpha] [less than or equal to] 1. [rho] define a classe de medidas de risco baseadas em quantis, e cada medida de risco individual nessa classe e caracterizada por sua propria funcao de ponderacao [phi]. Um agente que e avesso ao risco pode preferir trabalhar com uma medida de risco que considere sua aversao. Exatamente neste ponto que se encaixam as medidas de risco espectrais. [phi] reflete a aversao ao risco do agente.
Acerbi (2002) define que medidas de risco espectrais, sao aquelas medidas que possuem funcoes geradoras [phi] que atendem as propriedades, para 0 [less than or equal to] [alpha] [less than or equal to] 1, de nao negatividade ([phi]([alpha]) [greater than or equal to] 0), normalizacao ([[integral].sup.1.sub.0] [phi]([alpha])d[alpha] = 1) e nao crescimento ([phi]' ([alpha]) [less than or equal to] 0). A primeira propriedade requer que os pesos sejam nao negativos, garantindo o axioma de Monotonicidade da medida, ao passo que a segunda exige que as ponderacoes somassem a unidade, garantindo o axioma de Invariancia de Translacao. Mas a propriedade chave e a terceira, que requer que os pesos atribuidos a maiores perdas nao seja menor que os pesos atribuidos a perdas menores, a fim de refletir a aversao ao risco. Por depender diretamente da funcao de probabilidade dos dados, essa classe de medidas possui automaticamente ao axioma de Invariancia de Lei.
Complementando, Inui & Kijima (2005) mostram que qualquer medida de risco espectral que seja coerente e uma combinacao convexa da ES, e que a ES fornece o valor minimo de risco entre a classe de medidas coerentes. Kusuoka (2001) mostra que essa representacao e valida para medidas de risco coerentes com axiomas de Invariancia de Lei e Aditividade Comonotonica, coincidindo com [rho](X) = [[integral].sup.1.sub.0] AV a[R.sup.[alpha]](X)Q(d[alpha]), com Q [member of] [P.sub.(0,1]]. Cherny (2006), chamando esse tipo de medidas de WVaR, mostra que esse tipo de medidas possui boas propriedades, sendo estritamente subaditiva, isto e, [rho](X + Y)
Conforme apontado por Dowd et al. (2008), um ponto fraco dessa definicao e a terceira propriedade, pois ela nao exclui medidas que sao neutras ao risco. Esse autor cita como exemplo a ES, que se encaixa nas condicoes mas nao acomoda essa aversao crescente. Para eliminar esses casos, Dowd et al. (2008) substituem a terceira propriedade por algo mais forte, o decrescimento ([phi]'([alpha])
Csoka et al. (2007) mostram que uma medida de risco e coerente com axiomas de Invariancia de Lei e Aditividade Comonotona se e somente se ela for uma medida de risco espectral no sentido estrito, respeitando a propriedade de decrescimento. Entretanto, apesar dessas propriedades teoricas interessantes, ainda resta um grande problema para aplicacoes praticas: a escolha da funcao [phi]. Nao ha como estimar o modo que um individuo reage ao risco com precisao, caindo em um problema muito semelhante com o de funcoes de utilidade. Ainda assim, Dowd et al. (2008) investigam situacoes com funcoes exponenciais e de potencias. Os seus resultados indicam que embora essas funcoes tenham caracteristicas interessantes, tais como suavidade na evolucao do grau de aversao, elas podem levar a resultados indesejados dependendo da parametrizacao escolhida. Todavia, Brandtner (2014) rebate essas criticas feitas em relacao a funcoes espectrais exponenciais e de potencias, mostrando que elas levam a respeitar graus de aversao ao risco.
4.2 Medidas de risco de distorcao
Intimamente relacionada com o conceito de medidas espectrais esta a classe de medidas de distorcao, introduzidas por Wang (1996) visando problemas de seguros, que podem ser definidas basicamente como o retorno esperado sob uma transformacao da funcao de probabilidade, nomeada funcao de distorcao. Tal funcao de distorcao g: [0,1] [right arrow] [0,1], com g(0) = 0 e g (1) = 1, e crescente, definindo as medidas de distorcao como sendo [rho](X) = [[integral].sup.1.sub.0] [F.sup.-1.sub.X] (u)dg(u). Como e originalmente para seguros, se trabalha com perdas, ou seja -X ao inves de X. Wang et al. (1997) discute as medidas de risco de distorcao, argumentando em favor de questoes de continuidade e mostrando que as propriedades da medida sao intimamente ligadas com as da funcao g. Assim, a escolha dessa funcao de distorcao vai definir a medida de risco e suas propriedades. Wirch & Hardy (2000) mostram que medidas de distorcao com funcao g concava sao coerentes, e respeitam a dominancia estocastica de segunda ordem se e somente se forem estritamente concavas.
Gzyl & Mayoral (2008) estabelecem relacionamento direto entre medidas de risco de distorcao e medidas de rico espectrais atraves da relacao g'([alpha]) = [phi]([alpha]), se g for concava. Assim como as medidas espectrais, as medidas de distorcao caem no problema da definrcao de g. Assim, para g concava, as medidas de risco de distorcao sao coerentes e possuem axiomas de Invariancia de Lei e Aditividade Comonotona. Nesse sentido, Pflug (2006a) mostra que medidas de distorcao podem ser representadas como combinacoes da ES, de modo similar a representacao de Kusuoka (2001). Tal representacao e da forma [rho](X) = [[integral].sup.1.sub.0] AV [alpha][R.sup.[alpha]](X)g(d[alpha]). Pode se estabelecer que existe uma conexao direta entre medidas de distorcao com funcao g concava, medidas espectrais e medidas coerentes com axiomas de Invariancia de Lei e Aditividade Comonotona com base no integrador da representacao dual conforme g'([alpha]) = [phi]([alpha]) = [1/[alpha]] [[integral].sub.1.sup.1-[alpha]] Q(d[alpha]).
Song & Yan (2009a) apresentam em maiores detalhes as representares duais destes e de outros tipos de medidas de risco. Dhaene et al. (2012) discutem a questao da representacao de medidas de distorcao por quantis, com teoremas que mostram que cuidado precisa ser tomado na definho de quantil usada no caso de distribuyo de probabilidade nao continua. Por sua vez, Belles-Sampera et al. (2013) mostram que ordenadores de logica fuzzy sao intimamente ligados com o conceito de medidas de distorcao devido a integral de Choquet na sua representacao dual. Resultados nesse sentido sao provados e exemplos para VaR e TVaR sao oferecidos pelos autores. Balbas et al. (2009) estudam propriedades que uma medida de risco deve satisfazer a fim de evitar escolhas de portfolio inadequadas. Duas novas propriedades sao apresentadas, a completude, que exige que a medida use toda a informacao sobre a distribuyo dos dados, e a adaptabilidade, que forca a medida a usar a informacao adequadamente. Autores mostram que essas propriedades sao satisfeitas quando o crescimento estrito da funcao de distorcao existe.
Uma possibilidade, assim como nas outras classes de medidas de risco, e a proposicao de novos tipos de medidas de distorcao, como o trabalho de Tsukahara (2009), que introduz familias parametricas de medidas de distorcao, precisamente com um parametro, como extensao da representacao da ES, investigando suas propriedades e discutindo seu uso. A derivacao dessas medidas e baseada na representacao de medidas de risco coerentes com axiomas de Invariancia de Lei e Aditividade Comonotona. A abordagem do autor e visando comparacoes com a ES por meio de exemplos numericos, discutindo sua estimacao empirica e sua utilizacao na gestao de risco. Ja Hurlimann (2006) apresenta uma classe de medidas de distorcao, nao necessariamente coerentes, que sao potencias de potencias medias do valor esperado de diferencas de uma posicao distorcida Xg com relacao a algum limiar, conforme a expressao [rho](X) = [E.sub.P] [[[absolute value of ([X.sup.[??]] - b)].sup.a]], onde [alpha], [theta] [greater than or equal to] 0 e L [less than or equal to] b [less than or equal to] U, com L e U sao limiares. A variancia e um caso especial dessa subclasse, por exemplo. Propriedades e representacao da subclasse sao apresentadas.
Zhu & Li (2012) introduzem o conceito de medida de risco de distorcao na cauda, para verificar riscos de perdas excedentes ao VaR. Tais medidas tem representacao conforme [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], ou seja, apenas se adapta a distribuyo de probabilidade para captar informacao da cauda. Ainda, os autores derivam relacoes lineares assintoticas com o VaR para casos de distribuyes com caudas pesadas. Exemplos envolvendo distribuyes invariantes a localizacao, escala e formato sao apresentadas para ilustrar a abordagem. Fasen & Svejda (2012) estendem o conceito de medidas de risco de distorcao para o campo dinamico. Para tanto, os autores utilizam os conceitos de Roorda & Schumacher (2007) para definicoes de Consistencia Sequencial, Condicional e Dinamica para medidas de risco de distorcao diramicas, as utilizando em resultados que ligam axiomas e representacao dual.
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Medidas de Desvio Generalizado
5.1 Teoria basica
As classes de medidas de risco apresentadas ate aqui sao diretamente ligadas com o valor esperado ou monetario de uma posicao. Porem, em...
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